25 ноября 1915 года Альберт Эйнштейн представил заключительный доклад в серии из четырех сообщений, посвященных общей теории относительности. За прошедшие с тех пор свыше 100 лет эта теория прошла хорошую проверку: ее предсказания много раз подтверждались наблюдениями и экспериментами. Сейчас ОТО повсеместно используют в астрономических расчетах и инженерных приложениях, например в системах спутниковой навигации. Одновременно это хороший повод рассказать непростую историю появления общей теории относительности Эйнштейна.
Мистика одиннадцатого месяца
Алексей ЛЕВИН- историк науки
В истории физики есть событие, которое принято называть Ноябрьской революцией. Этот титул присвоен открытию в области элементарных частиц, совершенному двумя группами экспериментаторов в ноябре 1974 года. Команды под руководством Сэмюэла Тинга и Бертона Рихтера, работавшие на протонном синхротроне AGS в Брукхейвенской национальной лаборатории и на стэнфордском линейном ускорителе электронов SLAC, одновременно и независимо детектировали первую частицу, содержащую очарованные кварки (конкретно, мезон J/ψ, состоящий из c-кварка и его антикварка). Всего лишь через два года Рихтер и Тинг были удостоены Нобелевской премии по физике.
Однако по справедливости это открытие надо бы называть Второй ноябрьской революцией. Первая имела место ровно сто лет назад и, без преувеличения, знаменовала собой одно из величайших достижений во всей истории физики. В ноябре 1915 года Альберт Эйнштейн представил Королевской академии наук Пруссии четыре доклада, в последнем из которых были выписаны уравнения релятивистской теории тяготения, более известной как общая теория относительности (ОТО).
Результаты первых астрономических наблюдений, подтвердивших предсказанное Эйнштейном отклонение звездного света в поле тяготения Солнца, были обнародованы на совместном заседании Лондонского королевского общества и Королевского астрономического общества тоже в ноябре (конкретно, 6 ноября 1919 года). Это сообщение мгновенно сделало Эйнштейна мировой знаменитостью, однако не принесло Нобелевской премии ни ему, ни Эндрю Кроммелину (Andrew Crommelin) и Артуру Стенли Эддингтону — руководителям астрономических экспедиций, отправленных в Южное полушарие для наблюдения солнечного затмения 1919 года.
Эйнштейн шел к ОТО долгим и непростым путем, который начался в ноябре 1907 года, когда Эйнштейн был еще экспертом второго класса Швейцарского федерального бюро патентов в Берне. Он тогда писал обзорную статью по специальной теории относительсти (СТО), заказанную немецким физиком Йоханнесом Штарком для издававшегося им ежегодника Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik. В ходе этой работы Эйнштейн задумался, нельзя ли модифицировать ньютоновскую теорию тяготения с учетом СТО. Тогда-то его и посетило озарение, которое впоследствии он назвал самой удачной мыслью в своей жизни. Ему пришло в голову, что человек, прыгая с крыши, не чувствует собственного веса. Однако падение — движение с ускорением, обязанным действию земного тяготения. Так Эйнштейн понял, или, скорее, сначала предположил, что ускорение и гравитация неразрывно связаны друг с другом. А 5 ноября того же 1907 года профессор математики Гёттингенского университета Герман Минковский впервые представил слушателям своего семинара четырехмерную псевдоевклидову геометрию, которая вскоре стала основой математического аппарата СТО и позднее была использована Эйнштейном в его попытках построить релятивистскую теорию тяготения. В общем, ноябрь явно занимает в истории ОТО совершенно особое место.
Бернская прелюдия
Статья Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen («О принципе относительности и его следствиях») стала первой публикацией Эйнштейна по теории гравитации. Перед тем как заняться ее разбором, стоит остановиться вот на чём. Работу с изложением основ специальной теории относительности Zur Elektrodynamik bewegter Körper («К электродинамике движущихся тел»), которую Эйнштейн в конце июня 1905 года послал в журнал Annalen der Physik, он написал где-то за пять-шесть недель. Короткую заметку с развитием этой теории Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?(«Зависит ли масса тела от содержащейся в нем энергии?»), где было впервые отмечено, что мерой энергии тела служит его масса, он отправил в тот же журнал тремя месяцами позже, в конце сентября. Правда, фундаментальное положение об эквивалентности массы и энергии было сформулировано Эйнштейном только весной 1907 года (в статье Die vom Relitivätsprinzip geforderte Trägheit der Energie — «Об инерции энергии, требуемой принципом относительности»), однако оно довольно прозрачно вытекает уже из самой первой публикации по СТО. Так что основы этой великой теории были разработаны за неполные полгода, и еще около двух лет понадобились Эйнштейну для ее концептуального завершения. А вот создание ОТО растянулось на целых 8 лет.
Как я уже отметил, Эйнштейн начал обдумывать новую теорию тяготения в Берне и окончательно сформулировал ее в Берлине. Часть этой гигантской работы была выполнена во время его пребывания в Праге, и еще часть в Цюрихе. Эти четыре города составляют географический репер великой интеллектуальной эпопеи.
Но вернемся к статье в журнале Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik. Проблемам тяготения там посвящен только последний, пятый раздел «Принцип относительности и гравитация», занимающий всего 9 страниц. Этого хватило для получения весьма глубоких выводов. Ключевое рассуждение Эйнштейна состоит в сравнении двух систем отсчета Σ1 и Σ2, первая из которых находится в прямолинейном равноускоренном движении, а вторая пребывает в неподвижности в постоянном и однородном поле тяготения. Эйнштейн отмечает, что если сила тяготения в точности равна той, которая требуется для движения именно с этим ускорением, то никакой реально осуществимый физический эксперимент, выполненный в рамках той или иной системы, не даст возможность решить, какая из них движется, а какая покоится. Это дает основание предположить, пишет Эйнштейн, «полную физическую равноценность (Gleichwertigkeit) гравитационного поля и соответствующего ему ускорения системы отсчета. Такое допущение распространяет принцип относительности на случай равноускоренного прямолинейного движения системы отсчета. Его эвристическая ценность состоит в том, что оно позволяет заменить однородное поле тяжести равноускоренной системой отсчета, которая в определенной мере допускает теоретическое рассмотрение». Так Эйнштейн впервые сформулировал частный случай фундаментального положения, которое он в опубликованной через пять лет статье Lichtgeschwindigkeit und Statik des Gravitationsfeldes («Скорость света и статическое гравитационное поле») назвал принципом эквивалентности (Äquivalenzprinzip).
Принцип эквивалентности, распространенный на движения с любыми (не обязательно прямолинейными и постоянными) ускорениями исторически оказался первым краеугольным камнем будущей теории гравитации. Его экспериментальным подтверждением позднее стало равенство инертной и тяжелой массы, которое физики принимали за данность уже с XVII столетия. К началу XX века оно было с высокой точностью доказано в экспериментах венгерского физика Лоранда Этвёша с крутильными весами. Эйнштейн в 1907 году еще не знал о результатах Этвёша, с которыми ознакомился лишь пятью годами позже.
Эйнштейн не ограничился одной лишь формулировкой принципа эквивалентности. Посредством довольно простых рассуждений он показал, что свет в поле тяготения даже в вакууме распространяется по искривленным путям. С помощью этого принципа Эйнштейн также пришел к выводу, что гравитация замедляет течение времени. Выведенная им формула, которая связывает величину этого замедления с гравитационнным потенциалом, справедлива и в ОТО, однако при одном дополнительном предположении: поле тяготения следует считать слабым. Как отметил Эйнштейн, из этой формулы непосредственно следует, что монохроматический свет, приходящий от источника на поверхности Солнца, обладает длиной волны, которая приблизительно на две миллионные доли больше длины волны света, испускаемого таким же источником на Земле. Тем самым он предсказал физический эффект, который позднее был назван гравитационным красным смещением. Наличие гравитационного сдвига спектральных линий в 1959 году первыми экспериментально подтвердили американские физики Роберт Паунд и Глен Ребка (см. Эксперимент Паунда и Ребки). Они измерили его при «падении» гамма-лучей от радиоактивного источника с 22-метровой башни Джефферсоновской лаборатории Гарвардского университета. Хотя отношение частотного смещения к исходной частоте не превысило 10−14, его удалось зарегистрировать. Тот же эффект принимается в расчет при программировании систем спутниковой навигации.
На этих результатах Эйнштейн не остановился. 24 декабря он написал своему другу Конраду Габихту (Conrad Habicht), что пытается объяснить на их основе давно известную аномалию движения Меркурия. С середины XIX столетия было известно, что орбита этой планеты очень медленно вращается относительно Солнца, так что Меркурий описывает не замкнутый эллипс, предписанный ему первым законом Кеплера, а нечто вроде розетки (см. анимацию). Правда, скорость этого вращения очень невелика — за столетие большая ось меркурианской орбиты поворачивается всего на 1,55 градуса.
В принципе, в этой аномалии не было ничего тревожного. Из ньютоновской механики следует, что строго по замкнутому эллипсу может двигаться лишь одиночная планета, не имеющая соседей. Однако Меркурий движется под действием тяготения не только Солнца, но и прочих планет, главным образом Венеры и Юпитера. В 1859 году Урбен Леверье опубликовал результаты своих вычислений, из которых следовало, что большая ось орбиты Меркурия должна поворачиваться приблизительно на наблюдаемую величину, но все же чуточку медленней, чем в действительности. Согласно вычислениям Леверье, расхождение было небольшим, всего 38 угловых секунд за столетие, однако его причина оставалась непонятной. В 1882 году американский астроном Саймон Ньюком показал, что на самом деле расхождение даже чуть больше — примерно 43 угловые секунды за сто лет, — и с тех пор эта оценка не изменилась. Эту аномалию Эйнштейн надеялся объяснить на основе принципа эквивалентности, однако, как он признался Габихту, потерпел неудачу.
А потом его размышления над проблемами гравитации надолго прервались. Возможно, тут сыграла роль перемена его институционального положения. 28 февраля 1908 года Эйнштейн был утвержден приват-доцентом Бернского университета, сохранив и работу в бюро патентов. В середине октября он оставил обе должности, став экстраординарным профессором Цюрихского университета, где проработал без малого полтора года. 1 апреля 1911 года он занял вакантную кафедру теоретической физики пражского Университета Карла-Фердинанда, причем указ о его назначении на должность полного профессора подписал сам император Австро-Венгрии Франц-Иосиф.
Пражский этап
До переезда в Прагу Эйнштейн почти не занимался гравитацией, разве что в сентябре 1909 года начал обдумывать пути к расширению принципа относительности на системы отсчета, вращающиеся с постоянной угловой скоростью. В эти годы его в основном интересуют СТО, статистическая механика и квантовая теория света. Однако он вернулся к тяготению уже в первой работе, написанной в чешской столице. Эта статья Über den Einfluss der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes («О влиянии силы тяжести на распространение света») в целом продолжает и развивает логику построения релятивистской теории тяготения, намеченную в статье 1907 года. Однако направление этого развития оказалось бесплодным, и годом позже Эйнштейн от него отказался.
Вкратце, дело здесь в следующем. Эйнштейн не сомневался (и в этом был совершенно прав), что будущая теория, подобно СТО, должна подчиняться принципу соответствия. Подобно тому как выводы СТО переходят в выводы ньютоновской механики, если считать скорости тел малыми по сравнению со скоростью света, новая теория гравитации должна в качестве предельного случая малых скоростей и слабых постоянных полей давать ньютоновский закон тяготения. А поскольку ньютоновское гравитационное поле описывается скалярным потенциалом, фигурирующим в уравнении Пуассона, то имеет смысл поискать аналогичный математический формализм (конечно, с другим скалярным потенциалом) и для новой теории. Вероятно, тогда эта эвристика казалась Эйнштейну вполне разумной, но, как показало будущее, она не сработала.
Но вернемся к самой статье. Как следует из ее названия, Эйнштейн задается вопросом, можно ли считать, что скорость света, которая в рамках СТО играет роль универсальной физической константы, меняется в зависимости от изменений поля тяготения. Вновь применив принцип эквивалентности и вытекающую из него связь между ходом времени и гравитацией, Эйнштейн приходит к выводу, что такая зависимость имеет место и что скорость света неодинакова в разных точках пространства. В последующих работах пражского периода он экспериментировал с использованием переменной скорости света в качестве скалярного гравитационного потенциала. Однако это приводило к серьезным трудностям (в частности, нарушалось вытекающее из СТО соотношение между массой и энергией), так что со временем Эйнштейн стал искать новые подходы к конструированию теории.
Статья, о которой идет речь, интересна еще в двух аспектах. Во-первых, Эйнштейн там впервые отметил, что эквивалентность ускорения и тяготения локальна, а не глобальна, на что раньше он как-то не обратил внимания. Во-вторых, Эйнштейн использовал выведенную им формулу для переменной скорости света, чтобы вычислить степень искривления звездных лучей, проходящих на пути к Земле вблизи поверхности Солнца. Вообще-то эта задача может быть решена и на основе нерелятивистской механики. Свет как разновидность электромагнитных волн, которые описывает теория Максвелла, не должен испытывать воздействия ньютоновского тяготения. А вот если его счесть вслед за Ньютоном потоком мельчайших частиц с ненулевой массой, картина полностью изменится. Такие частицы должны отклоняться солнечным тяготением, подобно планетам, астероидам и кометам (о такой возможности думал и сам Ньютон). Величину углового отклонения луча от первоначального прямолинейного пути в этих предположениях в 1801 году вычислил немецкий ученый Иоганн Георг фон Зольднер (Johann Georg von Soldner), получивший формулу 2GMsc2Rs2GMsc2Rs (где Ms — масса Солнца, Rs — солнечный радиус, G — ньютоновская гравитационная постоянная, c — скорость света). Подставив в нее тогдашние значения этих величин, Зольднер получил отклонение 0,84 угловой секунды (подстановка величин, которые фигурируют в современных справочниках, дает примерно 0,88 угловой секунды). Эйнштейн вывел ту же самую формулу, хотя и на совершенно иной основе. О работе Зольднера он тогда, скорее всего, не знал и, во всяком случае, на нее не ссылался. На той же странице он призвал астрономов проверить это предсказание при наблюдениях звезд, которые появляются вблизи закрытого Луной солнечного диска во время полного солнечного затмения.
Этой апелляцией Эйнштейн не ограничился. В апреле 1912 года он встретился с молодым сотрудником Берлинской обсерватории Эрвином Финлеем-Фройндлихом, с которым обсудил возможность обнаружить такое отклонение (любопытно, что в этой беседе также всплыла идея гравитационного линзирования света, которую Эйнштейн опубликовал только через 24 года). Проверка едва не состоялась уже через пару лет. Летом 1914 года Фройндлих отправился в Крым для наблюдения солнечного затмения 21 августа. Его экспедиция, которую финансировал дипломат и пушечный король Густав Крупп фон Болен, добралась до Одессы, но с началом Первой мировой войны была задержана российскими властями и в сентябре выслана в Германию.
Надо сказать, что в этом Эйнштейну крупно повезло — ведь его тогдашний прогноз был ошибочным. В ноябре 1915 года, уже почти имея в кармане уравнения ОТО, он показал, что величина отклонения должна быть ровно вдвое больше первоначальной оценки — примерно 1,7 угловой секунды. Именно это предсказание четырьмя годами позже и подтвердили наблюдения Эддингтона и Кроммелина. Кто знает, какова была бы реакция Эйнштейна, если бы в 1914 году Фройндлих опроверг его вычисления. А такие ожидания были. Например, профессор Цюрихского университета лауреат Нобелевской премии 1914 года Макс фон Лауэ в 1913 году писал австрийскому философу Морицу Шлику, что после проверки во время предстоящего затмения теории Эйнштейна скорее всего суждена мирная кончина. Быть может, так бы и произошло.
Я упомянул Лауэ не случайно. В 1911 году он выпустил первое в истории физики (и очень продвинутое!) учебное пособие по специальной теории относительности (Max von Laue, 1911. “Die Relativitätstheorie. Band 1: Die spezielle Relativitätstheorie” // Braunschweig: Friedrich Vieger & Sohn, 1911). В этой работе он показал, что для полного описания внутренней динамики макроскопических тел в рамках СТО в общем случае надо задать не менее десяти независимых функций. Эти функции есть не что иное как компоненты симметричного тензора второго ранга в четырехмерном пространстве Минковского, который обычно именуют тензором энергии-импульса. В последствии Эйнштейн использовал этот формализм в работе над ОТО.
Цюрихская кооперация
В Праге Эйнштейн пробыл около шестнадцати месяцев. 25 июля 1912 года он уехал оттуда в Цюрих, где ему еще в феврале была предложена профессура в Швейцарской высшей технической школе, которую он сам окончил в 1900 году. Обратно в Швейцарию Эйнштейна перетащил его близкий друг со студенческих лет математик Марсель Гроссман, который годом ранее возглавил физико-математическое отделение цюрихской «техноложки».
Помимо должности, ради которой Эйнштейн отказался от кафедр в Лейдене и Утрехте, Гроссман предложил другу сотрудничество, которое оказалось для Эйнштейна чрезвычайно полезным. К тому времени он разочаровался в возможности построить теорию тяготения в пространстве Минковского. Этому немало помогла его полемика с профессором Миланского технического университета Максом Абрахамом, который работал в том же направлении. В предисловии к вышедшему в 1923 году чешскому изданию получившей мировую известность популярной брошюры по теории относительсти Эйнштейн вспомнил, что ключевая мысль об аналогии между математическим аппаратом будущей теории тяготения и развитой Гауссом теорией искривленных поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве пришла к нему вскоре после переезда в Цюрих — в вышедшем годом ранее русском переводе этой книги (А. Эйнштейн. «О специальной и общей теории относительности» // Государственное издательство. Москва, 1922) этой информации нет. Эта идея влекла за собой использование пространства-времени с произвольной геометрией, о чем Эйнштейн ранее не думал.
И вот тут-то ему очень помог Гроссман. Он познакомил Эйнштейна с римановой геометрией и с математическим аппаратом, необходимым для ее использования. Этот аппарат — тензорный анализ, — который первоначально назывался абсолютным дифференциальным исчислением, в самом конце XIX века разработали профессор Падуанского университета Грегорио Риччи-Курбастро и его ученик Туллио Леви-Чивита. В том же предисловии Эйнштейн отметил, что до консультаций с Гроссманом он ровно ничего не знал ни о геометрических идеях Римана, ни об исследованиях итальянских математиков.
Зримым результатом кооперации между Эйнштейном и Гроссманом стала появившаяся в 1913 году совместная статья “Entwurf einer verallgemeinerten Relativitätstheorie und eine Theorie der Gravitation. I. Physikalischer Teil von A. Einstein II. Mathematischer Teil von M. Grossmann” // Zeitschrift für Mathematik und Physik, 62, 225–244, 245–261 («Проект обобщенной теории относительности и теории тяготения»). Как следует из названия, ее математическая часть написана Гроссманом, а физическая — Эйнштейном. Именно здесь нашел выражение новый подход Эйнштейна к построению теории тяготения, которого он в целом придерживался вплоть до лета 1915 года. Его ключевыми элементами стали отказ от поисков скалярного потенциала силы тяжести и признание источником гравитации метрического тензора в четырехмерном пространстве-времени. По мысли Эйнштейна, этот тензор содержит всю информацию о геометрии пространственно-временного континуума, которая и определяет поле тяготения. Это действительно была фундаментальная инновация, которая в дальнейшем сделала возможным создание ОТО. В принципе, она могла бы и без такой задержки привести к полному успеху. Именно в этой работе Эйнштейн впервые сослался на результаты Этвёша, что позднее делал неоднократно.
Однако быстрого прорыва к новой теории не произошло. В ретроспективе ясно, что основой уравнений тяготения должен был стать тензор Римана, который как раз и описывает кривизну пространства-времени. Гроссман в своем разделе рассмотрел как сам этот тензор, так и производный от него тензор Риччи, которому было суждено сыграть важнейшую роль в уравнениях ОТО. Однако Эйнштейн и Гроссман пришли к заключению, что использование тензора Римана несовместимо с принципом сохранения энергии и импульса (точнее, энергии-импульса) гравитационного поля. Гроссман также ошибочно счел, что из тензора Риччи невозможно вывести в качестве предельного случая уравнение Пуассона. По этой причине Эйнштейн решил сузить требование полной ковариантности уравнений теории, то есть возможности записать эти уравнения в любой четырехмерной системе координат. Он также пришел к выводу (опять-таки, как показало будущее, ошибочному), что ковариантность уравнений гравитационного поля относительно любых преобразований координат несовместима с принципом причинности.
Отказ от полной ковариантности противоречил задаче конструирования действительно общей (то есть формально справедливой во всех координатных системах) теории, и Эйнштейн пошел на это с тяжелым сердцем. Позднее, однако, он убедил себя в разумности своего решения, о чем 10 марта 1914 года написал своему старому другу Мишелю Бессо (Michele Besso). Еще в конце того года он настолько доверял теории «Проекта» (the Entwurf theory, как ее называют в англоязычной литературе), что положил ее в основу большой обзорной статьи “Die Formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie” // Preussische Akademie der Wissenschaften, Sitzungsberichte, 1914 (part 2), 1030–1085 («Формальные основы общей теории относительности»), представленной к публикации 29 октября. Уже через год он об этом сильно пожалел, в чем и признался в письмах к коллегам-физикам Арнольду Зоммерфельду и Паулю Эренфесту. В ретроспективе очевидно, что теория «Проекта» и ее уточнения в последующих статьях содержали весьма конструктивные подвижки. Например, Эйнштейн использовал в ее формализме тензор энергии-импульса гравитационного поля, который он в духе тогдашней терминологии называет тензором энергии-напряжений, а в 1914 году показал, что частицы в поле тяготения движутся по геодезическим линиям в четырехмерном пространстве-времени. При всем этом она стала всего лишь промежуточным и в целом неудачным этапом на пути к созданию ОТО.
Вообще-то Эйнштейн мог бы усомниться в теории «Проекта» значительно раньше. Весной 1913 года он при содействии Мишеля Бессо нашел способ приближенного решения ее уравнений и на этой основе вычислил скорость поворота орбиты Меркурия. Полученный результат оказался более чем вдвое меньше данных наблюдений — всего 18 угловых секунд за столетие (он содержится в 50-страничной неопубликованной рукописи Эйнштейна и Бессо). Однако эта неудача тогда не ослабила веры Эйнштейна в правильность the Entwurf theory. Как известно, ошибаются и короли — и гении тоже.
В Цюрихе Эйнштейн пробыл лишь немногим дольше, чем в Праге. В 1912 году Макс Планк стал непременным секретарем Королевской академии наук Пруссии (то есть одним из четырех руководителей этого учреждения), после чего сразу развернул кампанию за приглашение Эйнштейна в Берлин. В результате Эйнштейну было предложено членство в Академии, должность директора Института физики кайзера Вильгельма с фактическим освобождением от административных обязанностей и профессура в Берлинском университете, не предполагающая обязательного чтения лекций. 3 июля прусские академики одобрили кандидатуру Эйнштейна (21 голос «за» и один «против»). 12 ноября их решение утвердил кайзер Германской империи и король Пруссии Вильгельм II, так что в свои 34 года Эйнштейн стал самым молодым членом Академии. 29 марта 1914 года он приехал в германскую столицу, где прожил до конца 1932 года.
Последние работы Эйнштейна, развивающие идеи теории «Проекта», появились в конце 1914 года. А затем наступает длительный перерыв — вплоть до ноября 1915 года и рождения ОТО.
Берлинский Sturm und Drang («буря и натиск»)
Скорее всего, Эйнштейн стал искать новую дорогу к созданию теории гравитации в конце лета или в начале осени 1915 года. С 28 июня по 5 июля он прочел в Гёттингенском университете шесть лекций о своих работах по теории тяготения, на которых присутствовали гиганты немецкой математики Давид Гильберт и Феликс Клейн. Почти наверняка Эйнштейн в те дни всё еще более или менее стоял на позициях the Entwurf theory. Дискуссии с Гильбертом со временем обернулись малоприятным для обоих, но, к счастью, кратковременным приоритетным спором — однако об этом после.
Осень 1915 года стала для Эйнштейна поистине судьбоносным временем. В ноябре ему предстояло представить коллегам по Академии четыре заранее запланированных доклада о теории гравитации. Приложив титанические усилия, Эйнштейн всего за несколько недель радикально пересмотрел и преобразовал свою теорию и добился полного успеха. Он дорабатывал ее вплоть до самого конца ноября и обнародовал в окончательной форме только в последнем выступлении. Все четыре сообщения, датированные 4, 11, 18 и 25 ноября, были быстро опубликованы в «Отчетах о заседаниях» (Sitzungsberichte) Академии. Их подробное обсуждение никак не укладывается в рамки этой статьи, так что я ограничусь кратким резюме.
Первый доклад, Zur allgemeinen Relativitätstheorie («К общей теории относительности»), и последовавшее через неделю дополнение были представлены только в письменной форме. Эйнштейн начал с признания неудачи своих предшествующих попыток сформулировать релятивистскую теорию тяготения. Он заявил о возвращении к стратегии конструирования полностью ковариантной теории и предложил новую версию полевых уравнений, использующих тензор Римана, тензор Риччи и символы Кристоффеля. Хотя эффективной теории гравитационного поля там еще нет, подходы к ней уже четко просматриваются.
Третью работу, Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie («Объяснение смещения перигелия Меркурия в общей теории относительности»), Эйнштейн 18 ноября самолично доложил коллегам в конференц-зале величественной резиденции Академии на Унтер-ден-Линден, 8. Это единственный из его четырех докладов, представленный в виде лекции, — вероятно, для пущего эффекта. Выступая перед академиками, Эйнштейн имел все основания чувствовать себя триумфатором. В предшествующие дни он вновь использовал для вычисления аномального поворота перигелия Меркурия метод последовательных приближений, развитый в кооперации с Бессо в 1913 году. Однако теперь он уже исходил не из теории «Проекта», а из уравнений, содержащихся в работе от 4 ноября. И на этот раз результат оказался правильным — 43 секунды за столетие! Эйнштейн тогда пришел в такое возбуждение, что, как он признался одному из коллег, испытал сильное сердцебиение. Он также заново вычислил отклонение звездного света в окрестности Солнца и получил вдвое большую величину по сравнению с результатом 1911 года: 1,7 угловой секунды. Возможно, что Эйнштейн своей лекцией хотел поскорее привлечь внимание астрономов к новым результатам.
Финальный доклад, Die Feldgleichungen der Gravitation («Уравнения поля тяготения»), как уже говорилось, был представлен 25 ноября. Он содержал окончательную форму уравнений гравитационного поля, полученную Эйнштейном посредством модификации формализма начала ноября. Именно эта дата и считается днем рождения ОТО.
Что же все-таки сделал Эйнштейн на заключительном этапе? Описывать на словах сильно математизированную теорию — занятие заведомо неблагодарное, так что заранее прошу прощения у читателей. Вкратце и с неизбежными упрощениями, суть в следующем. В современных учебных пособиях уравнения ОТО принято записывать в стандартной форме с использованием ковариантных тензоров:Rμν−12gμνR=−8πGc4TμνRμν−12gμνR=−8πGc4Tμν
(либо же в аналогичной записи через контравариантные тензоры). Здесь Rμν — тензор Риччи, R — его свертка по обоим индексам, то есть скалярная кривизна пространственно-временного континуума, gμν — метрический тензор, Tμν — тензор-энергии импульса; выражение в левой части уравнения принято называть тензором Эйнштейна, а коэффициент 8πGc48πGc4 — постоянной Эйнштейна. Эйнштейн стал использовать эту запись только в 1918 году, в первых же публикациях у него фигурирует математически эквивалентная формулировка Rμν=−8πGc4(Tμν−12gμνT)Rμν=−8πGc4(Tμν−12gμνT), где T — свертка тензора энергии-импульса.
Ради определенности я буду говорить о стандартной форме уравнений. В начале ноября Эйнштейн пришел к их усеченной версии с той же правой частью, но с одним только тензором Риччи в левой. Однако она приводила к противоречию, которое он быстро осознал. Ковариантная дивергенция тензора энергии-импульса тождественно равна нулю, в то время как дивергенция тензора Риччи, вообще говоря, отлична от нуля. Чтобы устранить эту проблему, Эйнштейн достроил левую часть уравнения до нового тензора, который позднее и был назван его именем. Ковариантная дивергенция тензора Эйнштейна дает тот же тождественный нуль, что и дивергенция тензора энергии-импульса. В итоге Эйнштейн получил теперь уже согласованную и полностью ковариантную систему уравнений гравитационного поля (реально он тогда модифицировал не левую, а правую часть своего первоначального уравнения Rμν=−8πGc4TμνRμν=−8πGc4Tμν, но с тем же самым результатом). Великий восьмилетний труд наконец-то был завершен. Ради исторической точности надо отметить, что реальная логика Эйнштейна при получении окончательных уравнений поля тяготения была несколько иной, и равенство нулю ковариантной производной тензора энергии-импульса он использовал, так сказать, обходным путем. Но это уже детали.
Конечно, переход от тензора Риччи к тензору Эйнштейна был приемом ad hoc — но приемом гениальным. В истории фундаментальной физики я могу сравнить с ним разве что такиерешения, как изобретение Максвеллом тока смещения, давшее возможность сформулировать замкнутую систему уравнений электромагнитного поля, или интерполяционную формулу Макса Планка, которая позволила ему получить согласующийся с экспериментальными данными спектр чернотельного излучения и стала началом квантовой физики.
Встает вопрос: как Эйнштейну удалось правильно вычислить смещение перигелия Меркурия и отклонение звездного света вблизи Солнца еще до того, как он написал уравнения ОТО? Дело в том, что эти физические эффекты имеют место в статическом гравитационном поле, обладающем центральной симметрией. В этом случае вычисления на основе «усеченных» уравнений дают тот же результат, что вычисления на базе полной теории. Так что Эйнштейну опять повезло.
Публикации в отчетах Прусской Академии, конечно, были не лучшим способом представить новую теорию тяготения физикам и астрономам Германии и, тем более, всего мира. Однако один из них среагировал практически мгновенно. 22 декабря Эйнштейн получил письмо от директора астрофизической обсерватории в Потсдаме Карла Шварцшильда, который тогда служил артиллерийским офицером на русском фронте. Переписав уравнения из эйнштейновского сообщения от 18 ноября в сферических координатах (сам Эйнштейн пользовался декартовыми), Шварцшильд дал их точное решение для центрально-симметричного гравитационного поля в вакууме. В феврале 1916 года он прислал Эйнштейну вторую статью с описанием поля тяготения внутри жидкой сферы постоянной плотности. Именно в этой работе, тут же представленной Эйнштейном к публикации, впервые появилась величина, позднее названная шварцшильдовским радиусом, которая играет ключевую роль в теории черных дыр.
Покончив с академическими докладами, Эйнштейн без задержки стал думать о том, как лучше представить ОТО всему профессиональному сообществу. Это советовали и его друзья Пауль Эренфест и Хендрик Антон Лоренц. Уже 26 декабря Эйнштейн послал Эренфесту письмо с планом будущей статьи, которую он 20 марта 1916 года отправил в Annalen der Physik. В этой большой работе, Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie («Основания общей теории относительности»), Эйнштейн детально описал физические принципы релятивистской теории гравитации, изложил основы тензорного анализа и дал подробный формальный вывод уравнений ОТО. Интересно, что он не предложил никакой геометрической интерпретации своей теории, в частности, никак не связал ее с кривизной пространства-времени. Всё это пришло позже. Наконец, 22 июня он представил статью Näherungsweise Integration der Feldgleichungen der Gravitation («Приближенное интегрирование уравнений поля тяготения»), где впервые обсудил возможность существования гравитационных волн.
Полноты ради надо упомянуть еще одну публикацию Эйнштейна того же 1916 года. Двумя годами ранее он вместе с Гроссманом написал статью “Kovarianzeigenschaften der Feldgleichungen der auf die verallgemeinerte Relativitätstheorie gegründeten Gravitationstheorie” // Zeitschrift für Mathematik und Physik, 63, 215-225 («Ковариантные свойства уравнений гравитационного поля, основанные на общей теории относительности»), в которой уравнения теории «Проекта» были выведены с помощью принципа наименьшего действия (этот метод Эйнштейну и Гроссману рекомендовал цюрихский математик Пауль Бернайс). То же самое он сделал и в ходе работы над статьей «Основания общей теории относительности», но почему-то не включил эти вычисления в ее окончательную версию. Однако осенью он всё же переделал этот раздел в самостоятельную заметку и отправил ее в печать под заголовком Hamiltonsches Prinzip und allgemeine Relativitätstheorie («Принцип Гамильтона и общая теория относительности»). Во вводном параграфе он отметил, что уравнения ОТО таким образом уже были получены в недавних публикациях Лоренца и Гильберта. Именно такой — максимально общий! — вывод этих уравнений можно найти в «Теории поля» Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица (М: «Наука», 1973, стр. 351–356), равно как и в продвинутых монографиях по теории тяготения (см., например, книгу A. Zee, Einstein Gravity in a Nutshell, стр. 344–350).
Эйнштейн и Гильберт
Теперь несколько слов о печально знаменитом споре о возможном приоритете Гильберта в формулировке уравнений ОТО. История эта не так проста. Все знают, что Гильберт в конце XIX века активно работал над аксиоматизацией геометрии. Итогом этих исследований стала классическая монография Grundlagen der Geometrie, вышедшая первым изданием в 1899 году и с тех пор многократно переиздававшаяся с уточнениями и дополнениями (есть русский перевод, сделанный с седьмого немецкого издания 1930 года: Д. Гильберт, «Основания геометрии», М: ОГИЗ, 1948). Куда менее известно, что Гильберт потратил немало усилий и времени на аксиоматизацию различных областей физики (см. Leo Corry, Hilbert and Physics (1900–1915)). Хотя этот проект практически никак не повлиял на развитие физической науки, Гильберт долго верил в его перспективность.
В его рамках Гильберт занимался и теорией тяготения. Вероятно, впервые он узнал о программе Эйнштейна в декабре 1913 года, когда на семинаре в Гёттингене был сделан доклад о теории «Проекта». Однако вплотную он ею заинтересовался в середине лета 1915 года в результате общения с Эйнштейном. Позднее они не раз обменивались письмами, в частности и в ноябре. Гильберт также внимательно следил за сообщениями, которые Эйнштейн тогда представлял Академии. В те же самые дни Гильберт рассказал своим гёттингенским коллегам о собственных исследованиях в области теории тяготения, о которых затем сообщил в печати. Эта работа, Die Grundlagen der Physik (Erste Mitteilung) («Основания физики (первое сообщение)»), содержит правильный вывод уравнений ОТО, выполненный на основе принципа наименьшего действия. Она появилась в печати только 31 марта следующего года, однако датирована 20 ноября. Хотя Гильберт отдает дань восхищения «великолепной теории общей относительности, развитой Эйнштейном», возникает естественный вопрос, кто же все-таки первым сформулировал уравнения ОТО в их окончательной форме. Он обсуждался вплоть до последних лет прошлого века.
Сейчас этот вопрос, к счастью, ушел в прошлое. Исследователи обнаружили корректуру первой версии гильбертовской статьи, на которой стоит штамп «6 декабря 1915 г.» (см. Leo Corry et al., 1997. Belated Decision in the Hilbert-Einstein Priority Dispute). Уже эта датировка однозначно решает вопрос о приоритете. К тому же из этого текста ясно, что еще в декабре Гильберт мыслил в основном в духе теории «Проекта», а опубликованную версию статьи написал после знакомства с уравнениями Эйнштейна.
Это замечание позволяет закончить рассказ о создании ОТО. Уже в 1917 году ее стали применять для конструирования космологических моделей, причем пионером в этом деле опять-таки оказался Эйнштейн: Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitätstheorie («Вопросы космологии и общая теория относительности»). Но это уже совсем другая история.
Фото на «открытии» статьи: Альберт Эйнштейн с женой Эльзой. Фото 1915 года с сайта pinterest.com
ИСТОЧНИК: Элементы https://elementy.ru/novosti_nauki/432628/Stoletie_OTO_ili_Yubiley_Pervoy_noyabrskoy_revolyutsii?from=rxblock